Alíkovina

Zábavná matematika: Vsadili byste v loterii čísla 1, 2, 3, 4, 5 a 6?

vydáno  •  Škola a poznání
Jaká by byla pravděpodobnost, že vyhrajete? Představte si následující příklad: V USA žije sběratel známek, který se dozví, že někde v ČR žije člověk, který má vzácnou známku. Rozhodne se tedy do Čech přijet, tohoto člověka vyhledat a známku od něj koupit.

Loterie (ilustrační foto), © AP

Přiletí tedy do Prahy, zde si úplně náhodně vybere vlak, z vlaku vystoupí v náhodném městě, nastoupí do náhodně vybraného autobusu a jede náhodný počet zastávek. Poté vystoupí, dojde k náhodně vybranému domu, v něm si vybere náhodně nějaké patro, v patře byt a v daném bytě jednu osobu. 

Pravděpodobnost, že je to jím hledaná osoba, je větší než pravděpodobnost hlavní výhry ve Sportce.

Loterie

Každý z nás se asi alespoň jednou setkal s některou z výherních loterií, ať již ve formě stíracích losů nebo třeba tomboly na maškarním plesu. Možnost “koupit si štěstí” přitahuje spoustu lidí, na touze po snadném výdělku je založena většina hazardních her.

Jednou z nejrozšířenějších je hra, ve které se hádá 6 čísel ze 49 možných. U nás je tato hra známá pod názvem Sportka. Při této hře se v sázkovém tiketu označí šest čísel od 1 do 49. Při losování je následně z osudí vybráno šest čísel, hráč získá hlavní výhru tehdy, shoduje-li se všech šest vylosovaných čísel s těmi, která před začátkem losování vyplnil ve svém sázkovém tiketu.

Proč to tak je?

Pro zjednodušení vysvětlení můžeme předpokládat, že v České republice žije přibližně 10 milionů obyvatel. Pravděpodobnost, že náhodně vybraný člověk z ČR je právě onen hledaný filatelista je rovna 1/10 000 000, tedy 0,0000001.

Jak velká je šance, že v loterii vyhrajeme první cenu?

Během školních let nám profesor matematiky položil prostou otázku: „Vsadil si už někdy někdo z vás Sportku?“ Několik studentů přisvědčilo, že tuto zkušenost mají. „A vsadili byste si na čísla 1, 2, 3, 4, 5 a 6?“ Všem možnost takového výsledku přišla nereálná. Třídou se ozvalo jen nesouhlasné zahučení. Následovala další otázka. „A proč ne?“  „Protože taková čísla nikdy nepadnou.“ Na tuto odpověď profesor samozřejmě čekal, a s potutelným úsměvem pronesl: „Vidíte, a přitom tato čísla mají stejnou pravděpodobnost vylosování, jako kterákoliv jiná kombinace čísel, kterou jste ochotni si vsadit.“

Každé číslo má stejnou možnost, že bude vybráno, tedy i každá šestice čísel bude vybrána se stejnou pravděpodobností. Tento závěr by měl každého odradit od sázení. Ukazuje, jak je šance na výhru malá.

Na druhou stranu, podle provozovatele hry, je šestice čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6 nejčastěji sázenou kombinací, v průměru je tipnuta přibližně 800-1000 krát v každém losování. Jen tak pro zajímavost, tento výsledek v celé historii hry (tj. od roku 1957) nebyl nikdy vylosován.

Co je to pravděpodobnost?

V matematice tento pojem používáme k tomu, abychom pomocí čísel vyjádřili sílu našeho přesvědčení o tom, zda se nějaký děj či jev stane. Čím větší číslo je pravděpodobnost jevu, tím více jsme přesvědčeni, že daný jev nastane. Když řekneme, že dva jevy mají stejnou pravděpodobnost, myslíme tím, že šance k tomu, aby se oba udály, jsou vyrovnané.

Vraťme se nyní k výpočtu pravděpodobnosti výhry hlavní ceny ve Sportce. Vsadili jsme 6 čísel, dejme tomu čísla: 12, 14, 18, 21, 37, 41. Z osudí bude vytaženo šest čísel z 49 možných. Pravděpodobnost výhry hlavní ceny je rovna počtu příznivých možností ku počtu všech možností, které v tomto případě mohou nastat. Příznivá možnost je pouze jedna, tou je vylosování šestice našich čísel. Kolik je všech možných šestic, které lze vytvořit vybíráním z čísel 1 až 49?

Celkem bychom napočítali neuvěřitelných 13.983.816 možných šestic čísel, tedy skoro 14 milionů možností.

Pravděpodobnost výhry 1. ceny ve Sportce tak činí 1/ 13 983 816, což je přibližně rovno číslu 0,000000072. To není příliš velká pravděpodobnost, že? Je to méně než u předchozího příkladu s filatelistou, ve kterém byla pravděpodobnost rovna 0,0000001. Lze tak říct, že filatelista má větší pravděpodobnost úspěchu než ten, kdo si vsadí čísla v loterii.

Dodejme, že takto je tomu pouze v tom případě, že je losována jedna šestice čísel. Ve skutečnosti probíhají dva tahy výherních čísel, tím je pravděpodobnost výhry během jednoho losování dvojnásobná.

Jak je možné, že občas někdo vyhraje?

Přestože pravděpodobnost hlavní výhry je velice nízká, občas někdo vyhraje. Třeba v roce 2013 byla správná šestice tipnuta celkem 26 krát. Jak je to možné? I na to se dá odpovědět pomocí předchozího příměru. Předpokládejme, že při každém losování jsou vsazeny přibližně dva miliony tipů. Představte si situaci s filatelisty. Místo jednoho filatelisty přijedou do Čech filatelistů dva miliony, rozprchnou se po naší vlasti a každý z nich osloví jednu náhodně vybranou osobu. Asi nebudete překvapeni, že občas někdo z nich narazí na skutečného majitele známky.

Miniseriál "Zábavná matematika" jsem pro tebe připravil ve spolupráci s Katedrou matematiky a informatiky Fakulty sociálně ekonomické Univerzity Jana Evangelisty Purkyně v Ústí nad Labem.

Autor:
» přejít do diskuse

Diskuse k článku  (1)

Příspěvek z 26. září 2014 ve 21:10.
anička999 v něm napsala:

Matematika

To je hodně zajímavé 25